论文导读：：采用传递矩阵方法，研究了横波（SV波）垂直入射时压电/（弹性/压磁）和（压电/弹性）/压磁两种Fibonacci准周期结构的频带特性，通过计算局部化因子和位移透射系数，数值揭示了此两种Fibonacci准周期结构频带特性的差异以及与相应理想周期结构频带特性的不同，而且表明（压电/弹性）/压磁Fibonacci准周期结构的频带特性与纯弹性材料Fibonacci准周期结构的频带特性是相似的。

　　关键词：磁电弹，准周期结构平面波，Fibonacci序列，带隙

　　0引言

　　磁电弹固体是由压电材料和压磁材料按照一定方式复合而成的新型多功能材料，具有力-电、力-磁和磁-电之间的多场耦合效应，其中磁电耦合效应是一种新的积效应，它产生于压电相和压磁相之间的相互作用。1972年，van Suchtelen[1]率先制备出了层状的BaTiO3/CoFe2O4复合材料，并发现了强磁电耦合效应的存在。自他的开拓性工作至今，特别是近二十年间，人们对如何获得具有高磁电耦合系数的压电-压磁复合材料方面进行了大量的研究工作，Feibig[2]和Nan等人[3]先后在其综述文章中详尽地论述了这种复合材料的研究进展及其潜在的应用前景。

　　磁电弹材料可以用于制作传感器、滤波器、换能器、可调相移器和谐振器等磁电功能器件[2,3]，这些器件工作性能的稳定与否与弹性波在其中的传播和衰减特性以及周围介质的材料性质紧密相关。因此，磁电弹材料或结构中弹性波的传播问题引起了国内外学者的关注。Du等人[4]和Zhang等人[5]分别研究了均匀和非均匀初应力作用下层状磁电弹半空间结构中Love波的传播性能。Liu等人[6]和Pang等人[7]分别分析了压电/压磁层状半空间中Love波和Rayleigh型表面波的频散特性，重点讨论了压电层的材料性能和电磁边界条件对传播速度的影响。Calas等[8]考查了两种均匀BaTiO3/CoFe2O4 磁电复合材料（BaTiO3 的体积含量分别为30％和70％）与BaTiO3 和CoFe2O4 组成的层/半空间三层结构中对称和反对称SH 型导波的频散关系，指出导波存在的限制条件。近几年来，随着声子带隙材料在声滤波器、声波导、声变送器、声学透镜以及减震降噪控制等方面广泛的应用前景，弹性波在压电/压磁周期复合结构中传播的研究也逐渐兴起。如Pang等[9]用传递矩阵方法研究了压电/压磁层状周期复合结构的带隙特性；数值计算结果表明，由于组分材料的波阻抗比值较小，因此只观察到了很窄的带隙。Wang等[10,11]用平面波展开法研究了二维磁电弹周期结构中弹性波传播的带隙特性。由于材料磁－电－力多物理场的耦合效应，弹性波在这类智能声子晶体中的传播将表现出一些特殊的性质，这可能为声传播特性的控制和高效的能量转换提供新的思路[12]。

　　目前关于磁电弹准周期结构的研究还未见报道。本文以Fibonacci序列为准周期结构的排列规则，采用传递矩阵方法，同时引进局部化因子的概念来研究耦合波在压电/弹性/压磁准周期结构中的传播和衰减特性，并与相应的理想周期结构的带隙特性进行比较。弹性波在磁电弹准周期结构中传播特性的研究，无疑会扩展磁电弹声子带隙材料在声学器件方面的应用。

　　二、问题的描述和波动方程的求解

　　<a href=http://www.lunwenf.com/61/ target=_blank class=infotextkey>论文范文</a>本文研究的一维准周期结构是由压电材料A、弹性材料B和压磁材料C三种组分材料按照Fabonacci序列排列而成的层状结构，三个子层的厚度分别为，和。对于理想周期结构A、B和C三个子层组成一个周期单元或单胞。

　　考虑如下两种Fibonacci准周期结构模型：（1）子层A和B为一组元，C为另一组元。（2）子层A为一组元，B和C为另一组元。对于第一种模型，Fibonacci结构的排列规则为：，论文范文，；而对于第二种模型Fibonacci结构的排列规则为：，。这两种模型中除了子层的排列顺序不同外，另一个明显的区别是相同代数的Fibonacci序列，子层的数目不一定相同。图1为按第一种模型排列的第4代Fibonacci结构的示意图。

　　对于横观各向同性磁电弹材料，令平面是材料的横观各向同性面，为材料的极化轴，考虑弹性波在对称面内的传播，在面内其全耦合的波动方程为[13]：

　　论文范文（1）

　　式中分别为方向的位移，和分别为电势和磁势；；；分别为弹性常数；压电、压磁系数；介电系数、磁导率和磁电耦合系数；为密度，为时间。

　　在平面内，磁电弹材料的本构方程为：

　　论文范文（2）

　　式中分别为应力、电位移和磁感应强度。上面两式中，当、和同时等于零时，方程将退化为压电材料的基本方程；当、和同时等于零时，方程将退化为压磁材料的基本方程；当这两种条件同时满足时，方程将退化为弹性材料的基本方程。

　　考虑力-电或力-磁耦合的横波（SV波）在面内垂直于层（沿方向）入射传播的情形。此时，耦合的磁电弹波动方程（1）可以简化。对于压电材料，方程（1）简化为：

　　（3）

　　在（3）中消去电势，得到如下关于压电材料（子层A）位移的微分方程

　　（4）　其中为考虑压电耦合效应的压电材料等效弹性常数，和分别为压电材料的弹性常数和密度。

　　考虑SV波沿方向传播时，对于弹性材料（子层B）其位移的微分方程为

　　（5）

　　和分别为弹性材料的弹性常数和密度。

　　对于压磁材料，考虑SV波沿方向入射传播的波动方程为

　　（6）

　　同样，（6）中消去磁势，得到如下关于压磁材料（子层C）位移的微分方程

　　（7）

　　其中为考虑压磁耦合效应的压磁材料的等效弹性常数，和分别为压磁材料的弹性常数和密度。式（3）-（7）中的坐标分别为各个子层沿方向的局部坐标。

　　假设方程式（4）、（5）和（7）中位移的解为

　　（8）

　　式中为未知波幅，为波数，为传播速度。将（8）代入方程（4）、（5）和（7）中得到如下方程

　　（9）

　　由和，可以得到，分别代表三个子层中沿的正负方向传播的一对SV波。因此可以得到波动方程（4）、（5）和（7）的一般解为

　　（10）

　　式中为SV波的频率，和为未知常数。把位移场（10）分别代入三个子层材料的本构关系式中，可以得到SV波的应力场

　　（11）

　　三、传递矩阵

　　当SV波沿方向垂直入射传播时，根据参考文献[14]，可以推得子层、或C的传递矩阵为

　　（12）

　　上式中和C分别代表子层、和C的特性参数；第代Fabonacci准周期结构的全局传递矩阵为

　　（13）

　　四、透射和反射系数

　　假设准周期结构是图1所示的第代Fabonacci序列，结构的两端均为相同材料B的半空间，考虑SV波从左半空间沿方向垂直入射。

　　定义位移反射、透射系数分别为反射波和透射波的位移幅值与入射波位移幅值的比值。为简便，这里假设入射SV波的波幅为1。左半空间的波场为：

　　（14）

　　上式中，为反射系数，为波数，上标“B”表示半空间的特性参数，以下均相同。

　　右半空间的波场为：

　　（15）

　　在结构的最左边界面有

　　（16）

　　在结构的最右边界面有

　　（17）

　　这里略去了时间简谐因子。准周期结构最右边界面和最左边界面状态向量间的关系式满足

　　（18）

　　把式（16）和（17）代入式（18）中得到

　　（19）

　　其中是整个准周期结构的全局传递矩阵，由式（13）计算得到；为的矩阵元素，求解式（19）可以得到位移反射系数

　　（20）

　　和位移透射系数

　　（21）

　　上两式中为左右半空间的波阻抗，为频率。　当SV波垂直入射，左右两半空间为相同的材料时，反射系数和透射系数满足如下的能量平衡关系

　　（22）

　　上式可以用来验证数值结果的正确性，详细的推导过程如附录A所示。

　　五、局部化因子

　　与理想周期结构不同的是，当弹性波在准周期结构中传播时，由于准周期系统自身的结构特点，会出现波动的局部化。局部化因子可以用来表征理想周期系统、失谐周期系统和准周期系统中波的传播特性和局部化现象[15]。这里我们用局部化因子的概念来表征Fabonacci准周期结构中弹性波的衰减特性。

　　对于图1所示的准周期层状结构，当SV波垂直入射传播时，利用Wolf的方法[16]，可以给出结构中局部化因子的表达式

　　（23）

　　式中为单位状态向量，“”表示向量的模论文范文，为式（12）中每个子层的传递矩阵。

　　当弹性波经过准周期结构的每个子层时，其幅值以指数衰减；能量则以指数衰减。波在结构中传播经过个子层时波幅相对于初始波幅的衰减程度为，能量相对于初始能量的衰减程度为。根据局部化因子的定义，局部化因子的值为零时相应的频率间隔为通带，局部化因子的值大于零时，相应的频率间隔即为禁带或带隙[15]。

　　五、数值算例与分析

　　前面推导的公式具有普遍性，适用于各种横观各向同性压电、弹性和压磁材料所组成的层状准周期结构。本节将以PZT-4（子层A）、Epoxy（子层B）和CoFe2O4（子层C）为例给出算例。子层A、B和C的厚度分别为和。为方便计算采用无量纲层厚和无量纲频率，为子层A中SV波的传播速度。在数值算例中不做特殊说明，取和，材料常数如表1所示。为了与准周期结构的带隙特性作比较，算例中还给出了相应周期结构的计算结果。

　　表1 材料常数

　　PZT-4 [9]

　　CoFe2O4[9]

　　Epoxy[15]

　　密度

　　ρ（Kg/m3）

　　7500

　　5800

　　1200

　　弹性常数

　　C44（N/m2）

　　2.6×

　　1010

　　4.5

　　×1010

　　1.61472

　　×109

　　压电常数

　　e15 （C/m2）

　　10.5

　　介电常数

　　ε11（C2/Nm2）

　　7.1×

　　10-9

　　压磁常数

　　h15（N/Am）

　　550

　　磁导率

　　μ11（Ns2/C2）

　　157

　　×10-6

　　作为与周期结构的局部化因子所描述的频带特性相比较，图2首先给出了SV波垂直入射传播时PZT-4/Epoxy/CoFe2O4层状周期结构第一布里渊区的频散曲线（无量纲频率随Bloch波数K的变化关系），图中没有频散曲线的频率间隔就是结构的频率带隙。可以看出，在频率间隔的范围内，周期结构中的Bloch波有6个带隙，带隙的宽度分别为1.143、1.023、0.341，1.124，0.842和0.602。相比于文献[9]中PZT-4/CoFe2O4周期结构带隙的数目和宽度，可以看出Epoxy弹性层的存在，可以明显地增大带隙的数目和宽度。这是因为相比于PZT-4和CoFe2O4，Epoxy的弹性常数和密度都要小得多，组分材料的波阻抗比值较大，因此带隙宽度较大。

　　图3给出了PZT-4/Epoxy为一组元，CoFe2O4为另一组元时PZT-4/Epoxy/CoFe2O4准周期结构的局部化因子随无量纲频率的变化关系，取第18代Fibonacci数列，即6765个子层。作为比较，还给出了相应周期结构的计算结果。局部化因子大于零的区间即为结构的频率带隙，局部化因子等于零的频率间隔即为结构的频率通带。图中虚线所示周期结构的局部化因子所描述的频带区间与图2频散曲线所描述的频带区间完全一致。

　　从图3可以看出，此种排列的准周期结构把原来周期结构的带隙区间一分为二且大致在带隙的中心频率处分开，且分裂开的两个带隙的宽度和局部化因子的峰值在大部分频率范围内大致相等；相比于理想周期结构，带隙变多但变窄。此现象与纯弹性Pb/Epoxy Fibonacci准周期结构的局部化因子的变化规律相类似[17]，但第二种模型所

　　示的准周期结构却显示了截然不同的计算结果。

　　图4给出了PZT-4为一组元，Epoxy/CoFe2O4为另一组元的PZT-4/Epoxy/CoFe2O4 Fibonacci 序列的局部化因子随无量纲频率的变化关系，也取第18代Fibonacci序列，但子层数目为5778个。相对于第一种模型，这种模型Fibonacci排列的子层数目较少，根据式（23）局部化因子的定义，图4所示局部化因子的值较图3所示局部化因子的值大。从图4中可以看出，此种准周期结构也把相应周期结构的带隙区间分裂，使得带隙变多变窄，但却并非像第一种模型那样几乎在原来带隙的中心频率处分裂，且其分裂开的两个带隙的宽度和局部化因子的峰值差别也较大。如原来周期结构的第二个禁带，被分裂开的第一个带隙的宽度为，其局部化因子的峰值为1.11；而分裂出的第二个带隙的宽度仅为，其局部化因子的峰值也仅为0.42。从图4还可以看到，这种峰值和带隙宽度的差别在低频处更为明显，在无量纲频率大于6时，被分裂开的两个带隙的局部化因子峰值的差别逐渐减小；随着频率的增大，带隙的宽度也逐渐趋于相等。

　　不论图3还是图4，可以看到在频率带隙区间内，两种模型准周期结构局部化因子的值均小于周期结构局部化因子的值，表明在带隙区间，准周期结构中弹性波的衰减程度比周期结构小；而在通带频率区间内，准周期结构的局部化因子均大于零，这说明准周期结构本身就具有局部化现象，这是由准周期系统自身的结构特点决定的[17]，这种特性也可以从透射系数上看出来。图5给出了两种模型的第11代Fibonacci序列的位移透射系数随无量纲频率的变化关系论文范文，作为比较还给出了两种模型的局部化因子随无量纲频率的变化关系。

　　从这两个图中可以看出，准周期结构频率通带范围内透射系数的值小于1，但局部化因子的值大于零。频率带隙范围内，透射系数的值基本为零。局部化因子和位移透射系数所描述的准周期结构的频带特性完全一致，因此利用局部化因子可以很好地描述弹性波在其中的传播行为[15]。作为准周期系统能量平衡的验证，图6a、6b分别给出了两种模型的第11代Fibonacci序列能量反射和能量透射系数随无量纲频率的变化关系。可以看出，两种准周期结构中的入射波、反射波和透射波所携带的能量满足关系式（22），说明两种准周期系统的能量守恒；同时能量系数所反映出两种准周期系统的频带结构与相应局部化因子（图5）所描述的频带结构也完全一致。

　　为了更进一步阐述准周期结构在通带频率范围的局部化程度，图7给出了两种模型第11代Fibonacci序列准周期结构以及理想周期结构的位移透射系数随无量纲频率的变化关系。对于相同的第11代Fibonacci序列，第一种模型（AB/C）的子层数为233，而第二种模型（A/BC）的子层数为199；周期结构取70个单胞，即210层。在大部分通带频率范围内，例如、和可以明显地看出，由于结构自身特点所造成波动的局部化现象，两种模型准周期结构的位移透射系数均比理想周期结构的位移透射系数小。

　　六、结论

　　本文采用传递矩阵方法，通过引进局部化因子的概念研究了两种Fibonacci序列的压电/弹性/压磁层状准周期结构中弹性波的传播和局部化特性，考虑了力-电和力-磁耦合的SV波垂直传播的情形。以PZT-4/Epoxy/CoFe2O4复合材料为例给出了具体的算例，并与相应理想周期结构的计算结果进行了比较，数值计算结果表明：

　　（1）对于PZT-4/Epoxy/CoFe2O4准周期结构，两种Fibonacci准周期结构的带隙特性完全不同，（PZT-4/Epoxy）/CoFe2O4 Fibonacci准周期结构与纯弹性Pb/Epoxy Fibonacci准周期结构的带隙特性相类似。

　　（2）相对于PZT-4/Epoxy/CoFe2O4理想周期结构，两种模型的PZT-4/Epoxy/CoFe2O4 Fibonacci准周期结构带隙的数目较多，但带隙的宽度较小。　（3）在通带频率范围内，由于准周期结构自身的结构特点，波动会发生局部化。在带隙频率范围内，两种模型的PZT-4/Epoxy/CoFe2O4 Fibonacci准周期结构中弹性波的衰减程度均比相应的理想周期结构的衰减程度小。这与Pb/Epoxy纯弹性Fibonacci准周期结构的局部化特性相一致。

　　附录A

　　准周期结构能量平衡关系式（22）的推导：

　　左半空间，入射SV波的速度和应力场为：

　　（A.1）

　　在结构的最左边界面入射波的应力和速度场为：

　　（A.2）

　　根据参考文献[18]，入射波在单位时间内的瞬时功率（能流密度）为：

　　（A.3）

　　则入射波在一个周期内携带的平均能流为

　　（A.4）

　　据此相同的推导过程，可以得到界面的反射波和界面的透射波在一个周期内携带的平均能流分别为

　　（A.5）

　　（A.6）

　　能量反射系数和能量透射系数分别定义为反射波和透射波各自所携带的能量占入射波能量的比例来表示，即和。由能量守恒，可以得到

　　（A.7）

　　此式即为准周期结构的能量所满足的平衡关系，可以用来验证数值结果的正确性。

　　附录B

　　式（22）的理论证明：

　　（B.1）

　　（B.2）

　　上两式中上标“”代表复共轭。化简（B.1）与（B.2）之和可以得到

　　（B.3）

　　在式（B.1），（B.2）和（B.3）的化简中均利用了准周期结构全局转换矩阵的性质。

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